Capire VAN e TIR esercizi svolti non significa solo saper fare i conti: significa anche interpretare bene i risultati e scegliere il criterio giusto quando confronti due progetti. Per molti studenti universitari, e in particolare per chi prepara Matematica finanziaria all'UniCal, il punto critico non è la formula in sé, ma la lettura della traccia: quali flussi vanno messi con segno negativo, quale tasso usare, quando il TIR può trarre in inganno. In questa guida trovi esempi originali, passaggi numerici chiari e una checklist finale utile per gli esercizi d'esame. Gli esempi hanno scopo didattico e non costituiscono consulenza finanziaria.
VAN e TIR: cosa misurano davvero
Il valore attuale netto misura quanto valore crea oggi un investimento, una volta attualizzati tutti i flussi di cassa futuri al tasso richiesto. La formula operativa è:
VAN = -C0 + CF1/(1+i) + CF2/(1+i)^2 + ... + CFn/(1+i)^n
Dove C0 è l'esborso iniziale, CFt sono i flussi ai vari periodi e i è il tasso di attualizzazione.
Il TIR, cioè il tasso interno di rendimento, è invece il tasso r che rende il VAN uguale a zero. In molti appunti trovi anche la ricerca della frase tasso interno rendimento: in pratica si intende proprio il TIR.
I criteri base, in ambito accademico, sono questi:
- se VAN > 0, il progetto crea valore rispetto al tasso scelto;
- se VAN = 0, il progetto è indifferente rispetto a quel tasso;
- se VAN < 0, il progetto non remunera abbastanza il capitale al tasso richiesto;
- se TIR > i, il progetto è accettabile secondo il criterio del TIR;
- se TIR < i, il progetto va rifiutato.
Attenzione però alle convenzioni di segno: normalmente le uscite sono negative e le entrate positive. Quindi un investimento iniziale si scrive con segno meno, mentre gli incassi successivi con segno più. Se in anni successivi compaiono costi straordinari o spese di smantellamento, quei flussi tornano negativi. Questo dettaglio è decisivo, perché da qui nascono i limiti del TIR.
Metodo di lavoro per risolvere gli esercizi
Prima di passare ai numeri, conviene seguire sempre una procedura ordinata. Negli esercizi ben fatti, l'errore non è quasi mai nella formula, ma nel disordine.
- Disegna la linea del tempo e colloca i flussi nei periodi corretti.
- Assegna i segni: esborso iniziale negativo, rientri positivi, eventuali costi futuri negativi.
- Controlla il tasso: va espresso in forma coerente con la periodicità dei flussi.
- Calcola il VAN attualizzando ogni flusso.
- Stima il TIR cercando il tasso che annulla il VAN, con tentativi o interpolazione.
- Interpreta il risultato: progetto singolo o scelta tra alternative? I due casi non si leggono allo stesso modo.
Per la scelta investimenti esercizi, questa distinzione è fondamentale: se devi decidere se accettare o no un solo progetto, VAN e TIR spesso concordano; se invece devi scegliere tra progetti alternativi, possono divergere.
Esercizio svolto 1: calcolo di VAN e TIR su un progetto singolo
Dati del progetto
- Tempo 0: investimento iniziale -12.000
- Anno 1: incasso 4.000
- Anno 2: incasso 5.000
- Anno 3: incasso 6.000
- Tasso di attualizzazione: 8%
Calcolo del valore attuale netto
Applichiamo la formula:
VAN = -12.000 + 4.000/1,08 + 5.000/1,08^2 + 6.000/1,08^3
Calcoliamo i valori attuali dei singoli incassi:
- 4.000/1,08 = 3.703,70
- 5.000/1,08^2 = 4.286,69
- 6.000/1,08^3 = 4.762,99
Somma dei flussi attualizzati: 12.753,38
Quindi:
VAN = 12.753,38 - 12.000 = 753,38
Il VAN è positivo. Secondo il criterio del valore attuale netto, il progetto è accettabile al tasso dell'8%.
Calcolo del TIR
Ora cerchiamo il tasso che rende il VAN pari a zero. Facciamo due prove:
- con 11% otteniamo un VAN circa +48,93;
- con 12% otteniamo un VAN circa -171,27.
Il TIR è quindi compreso tra 11% e 12%. Con una semplice interpolazione lineare si ottiene un valore vicino a 11,2%.
Interpretazione
Il progetto supera il tasso soglia dell'8% e presenta un TIR di circa 11,2%. In un esercizio d'esame, la conclusione corretta è: il progetto va accettato secondo entrambi i criteri. Questo è il caso più lineare, tipico dei flussi convenzionali: un solo esborso iniziale seguito solo da incassi.
Esercizio svolto 2: scelta tra due investimenti alternativi
Passiamo ora al caso più interessante: due progetti alternativi, stessa durata, stesso livello di rischio ipotizzato nell'esercizio e tasso di attualizzazione pari al 10%.
Dati dei due progetti
- Progetto A: -5.000; +3.200; +2.200; +1.000
- Progetto B: -20.000; +10.500; +7.500; +6.500
Calcolo del VAN
Per il progetto A:
VAN(A) = -5.000 + 3.200/1,10 + 2.200/1,10^2 + 1.000/1,10^3
- 3.200/1,10 = 2.909,09
- 2.200/1,10^2 = 1.818,18
- 1.000/1,10^3 = 751,31
Somma attualizzata = 5.478,58
VAN(A) = 478,58
Per il progetto B:
VAN(B) = -20.000 + 10.500/1,10 + 7.500/1,10^2 + 6.500/1,10^3
- 10.500/1,10 = 9.545,45
- 7.500/1,10^2 = 6.198,35
- 6.500/1,10^3 = 4.883,55
Somma attualizzata = 20.627,35
VAN(B) = 627,35
Calcolo del TIR
- Il TIR del progetto A è circa 16,5%.
- Il TIR del progetto B è circa 11,9%.
Quale progetto scegliere?
Qui compare un conflitto classico:
- il TIR preferisce A, perché 16,5% è maggiore di 11,9%;
- il VAN preferisce B, perché 627,35 è maggiore di 478,58.
Negli esercizi universitari, quando i progetti sono mutuamente esclusivi, il criterio da privilegiare è di norma il VAN. Il motivo è semplice: il VAN misura la creazione di valore in termini assoluti, mentre il TIR è una misura percentuale e può favorire il progetto più piccolo anche quando crea meno valore totale.
Questa è una delle idee più importanti da portare all'esame: tra alternative esclusive non vince sempre il TIR più alto. Se il docente chiede di motivare la risposta, scrivi che il conflitto nasce dalla diversa scala dei progetti e che il VAN è più affidabile nella decisione finale.
Quando VAN e TIR possono ingannare
1. Differenza di scala
Lo hai appena visto: un progetto piccolo può avere un TIR più elevato ma generare meno valore totale. In quel caso il TIR è impressionante in percentuale, ma il VAN descrive meglio l'effetto economico complessivo.
2. Tempi di incasso diversi
Due investimenti possono avere lo stesso orizzonte ma distribuire i flussi in modo differente. Se un progetto incassa molto presto e l'altro molto tardi, il ranking dato dal TIR può non coincidere con quello del VAN, soprattutto quando il tasso di attualizzazione è rilevante.
3. Flussi non convenzionali e più TIR
Se i flussi cambiano segno più di una volta, il TIR può diventare ambiguo. Esempio didattico:
- Tempo 0: -10.000
- Anno 1: +23.000
- Anno 2: -13.200
Qui i cambi di segno sono due: negativo, positivo, negativo. In questo caso l'equazione del TIR ammette due soluzioni, circa 10% e 20%. Quale useresti? È proprio questo il problema: il TIR smette di essere un indicatore univoco. In situazioni del genere conviene fare riferimento al VAN calcolato al tasso richiesto dalla traccia.
4. TIR assente o poco informativo
Con alcuni profili di cassa, l'equazione può non avere soluzioni economicamente utili oppure produrre un numero poco interpretabile. Per questo, nella pratica accademica, il TIR va sempre affiancato al VAN e mai usato in modo automatico.
Checklist operativa per gli esercizi d'esame
- Leggi bene la periodicità: annua, semestrale, mensile.
- Allinea tasso e flussi: non mescolare tasso annuo e flussi trimestrali senza conversione.
- Usa la convenzione di segno corretta: uscite negative, entrate positive.
- Controlla se i progetti sono indipendenti o alternativi.
- Se c'è conflitto tra VAN e TIR, spiega il motivo: scala, tempi o flussi non convenzionali.
- Scrivi sempre una conclusione economica, non fermarti al numero.
- Se i segni cambiano più volte, segnala esplicitamente il possibile limite del TIR.
Come allenarti in modo più efficace all'università
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Conclusione
Negli esercizi su investimenti, il valore attuale netto risponde alla domanda su quanto valore viene creato oggi, mentre il TIR indica il rendimento implicito del progetto. Nei casi semplici i due criteri spesso concordano; nelle scelte tra alternative o con flussi non convenzionali, invece, il VAN è in genere il riferimento più solido. Se memorizzi procedura, convenzioni di segno e limiti del TIR, risolvere gli esercizi diventa molto più gestibile. Il punto non è fare conti a memoria, ma capire cosa stanno dicendo davvero i numeri.