Se cerchi quartili esercizi svolti, la cosa piu importante da capire prima del calcolo e il loro significato: i quartili dividono una serie di dati ordinata in quattro parti uguali. Il primo quartile Q1 lascia sotto di se circa il 25% delle osservazioni, Q2 coincide con la mediana e Q3 lascia sotto di se circa il 75% dei valori. In questa guida trovi un metodo coerente per i dati non raggruppati, un esempio numerico completo, l'interpretazione del risultato e il caso dei quartili dati raggruppati. L'obiettivo non e solo ottenere il numero corretto, ma saper spiegare cosa dice la distribuzione: dove si concentra, quanto e dispersa e come si commenta in un esercizio universitario di Statistica.
Cosa rappresentano i quartili
I quartili sono indici di posizione. A differenza della media, che sintetizza il livello medio dei dati, i quartili descrivono come le osservazioni sono distribuite lungo una scala ordinata. Per questo compaiono spesso negli esercizi d'esame: aiutano a capire non solo il centro, ma anche la struttura della distribuzione.
Dopo aver ordinato i valori dal piu piccolo al piu grande, si leggono cosi:
- Q1: valore soglia sotto il quale cade circa il 25% dei dati.
- Q2: mediana, quindi valore che divide a meta la distribuzione.
- Q3: valore soglia sotto il quale cade circa il 75% dei dati.
In pratica, i quartili ti dicono se i risultati sono raccolti in un intervallo stretto o distribuiti in modo piu ampio. Sono molto utili quando devi commentare tempi di svolgimento, voti, punteggi o misurazioni sperimentali. Due gruppi possono avere la stessa media ma quartili diversi: in quel caso la lettura della variabilita cambia.
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Metodo di calcolo passo per passo
Per i dati non raggruppati useremo una convenzione molto diffusa: le posizioni dei quartili sono date da p1 = (n + 1) / 4, p2 = (n + 1) / 2 e p3 = 3(n + 1) / 4, dove n e il numero totale delle osservazioni e p1, p2, p3 sono le posizioni di Q1, Q2 e Q3 nella serie ordinata.
- Ordina i dati in senso crescente. Senza ordinamento il quartile non ha significato.
- Conta le osservazioni e individua n.
- Calcola le posizioni di Q1, Q2 e Q3 con le formule indicate.
- Leggi il valore corrispondente se la posizione e intera. Se la posizione e decimale, usa l'interpolazione tra i due valori adiacenti.
- Interpreta il risultato nelle unita del problema: minuti, punti, euro, centimetri e cosi via.
Se la posizione e decimale, la logica e questa: se una posizione vale, per esempio, 6,25, il quartile si trova tra il 6° e il 7° valore ordinato. Se chiami x6 il sesto valore e x7 il settimo, allora il quartile si calcola come x6 + 0,25(x7 - x6).
Nei corsi universitari puo capitare anche un'altra convenzione, per esempio quella basata sulle mediane delle due meta del campione. Il punto decisivo, in esame, e dichiarare il metodo usato e mantenerlo coerente dall'inizio alla fine. Per rendere concreto il metodo, nel prossimo paragrafo trovi un calcolo quartili esempio completo con posizioni decimali e controllo finale.
Esempio svolto
Dati: tempi, espressi in minuti, impiegati da 14 studenti per completare una scheda di esercizi di Statistica: 17, 18, 20, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 33, 35, 38, 42.
Ipotesi di lavoro: usiamo la convenzione delle posizioni (n + 1) / 4 con interpolazione lineare quando la posizione non e intera.
- Verifica dell'ordinamento: i dati sono gia ordinati in senso crescente.
- Numerosita: n = 14.
- Posizione di Q1: p1 = (14 + 1) / 4 = 3,75.
- Posizione di Q2: p2 = (14 + 1) / 2 = 7,5.
- Posizione di Q3: p3 = 3(14 + 1) / 4 = 11,25.
Ora leggiamo i valori coinvolti:
- Il 3° valore e 20, il 4° valore e 22.
- Il 7° valore e 26, l'8° valore e 27.
- L'11° valore e 33, il 12° valore e 35.
Calcolo di Q1: la posizione 3,75 significa che il quartile e a tre quarti del tratto tra il 3° e il 4° valore. Quindi Q1 = 20 + 0,75(22 - 20) = 20 + 1,5 = 21,5 minuti.
Calcolo di Q2: la posizione 7,5 e a meta tra il 7° e l'8° valore. Quindi Q2 = 26 + 0,5(27 - 26) = 26,5 minuti.
Calcolo di Q3: la posizione 11,25 e a un quarto del tratto tra l'11° e il 12° valore. Quindi Q3 = 33 + 0,25(35 - 33) = 33,5 minuti.
Controllo finale:
- Q1 = 21,5 minuti
- Q2 = 26,5 minuti
- Q3 = 33,5 minuti
I risultati sono coerenti perche Q1 e minore di Q2 e Q2 e minore di Q3. Inoltre il range interquartile, indicato con IQR = Q3 - Q1, vale 33,5 - 21,5 = 12 minuti. Questo significa che il 50% centrale degli studenti completa la scheda in un intervallo di 12 minuti, compreso tra 21,5 e 33,5 minuti.
Interpretazione: circa un quarto degli studenti impiega al massimo 21,5 minuti; meta del gruppo conclude entro 26,5 minuti; tre quarti terminano entro 33,5 minuti. Il tratto tra mediana e terzo quartile e leggermente piu ampio di quello tra primo quartile e mediana, quindi la parte alta dei tempi appare un po piu dispersa.
Primo e terzo quartile: lettura del risultato
Il primo e terzo quartile non vanno mai lasciati come numeri isolati. In un compito ben svolto devi sempre tradurli in una frase che abbia senso nel contesto del problema. Se il dato e un tempo, il quartile si legge in minuti; se il dato e un voto, si legge in punti; se il dato e una misura fisica, si mantiene l'unita corretta.
Ecco come puoi ragionare:
- Q1 descrive la soglia del 25% piu basso della distribuzione.
- Q3 descrive la soglia sotto cui cade il 75% dei valori.
- IQR = Q3 - Q1 misura la dispersione della meta centrale dei dati.
- Il confronto tra Q2 - Q1 e Q3 - Q2 puo suggerire una distribuzione piu allungata verso i valori grandi o verso quelli piccoli.
Nell'esempio precedente, dire solo che Q1 = 21,5 e Q3 = 33,5 sarebbe incompleto. La frase utile e: la meta centrale dei tempi e compresa tra 21,5 e 33,5 minuti. Questo tipo di commento mostra al correttore che non stai applicando una formula in modo meccanico, ma sai leggere il fenomeno osservato.
Quartili dati raggruppati
Quando i dati non sono disponibili uno per uno, ma sono riassunti in classi con frequenze, i quartili si stimano tramite le frequenze cumulate. In questo caso non si individua il singolo valore esatto, ma una posizione approssimata all'interno della classe quartile.
Una formula molto usata e la seguente: Qk = L + ((kN / 4 - Fprec) / f) x c.
- Qk: quartile cercato, con k = 1 oppure k = 3.
- N: frequenza totale.
- L: estremo inferiore della classe quartile.
- Fprec: frequenza cumulata prima della classe quartile.
- f: frequenza della classe quartile.
- c: ampiezza della classe.
Esempio: tempi di consegna, in minuti, di 80 studenti.
- [0,10): 5
- [10,20): 13
- [20,30): 24
- [30,40): 20
- [40,50): 12
- [50,60): 6
Le frequenze cumulate sono: 5, 18, 42, 62, 74, 80.
Per Q1 calcoliamo la posizione N / 4 = 80 / 4 = 20. La ventesima osservazione cade nella classe [20,30), perche prima arrivo a 18 e con la classe successiva arrivo a 42. Quindi:
L = 20, Fprec = 18, f = 24, c = 10.
Allora Q1 = 20 + ((20 - 18) / 24) x 10 = 20 + 0,833... = 20,83 minuti circa.
Per Q3 la posizione e 3N / 4 = 60. La sessantesima osservazione cade nella classe [30,40), perche la cumulata passa da 42 a 62. Quindi:
L = 30, Fprec = 42, f = 20, c = 10.
Otteniamo Q3 = 30 + ((60 - 42) / 20) x 10 = 39 minuti.
Interpretazione: circa il 25% degli studenti consegna entro 20,83 minuti, mentre circa il 75% consegna entro 39 minuti. Il 50% centrale dei tempi e quindi compreso approssimativamente tra 20,83 e 39 minuti. L'approssimazione e normale: nei dati raggruppati si assume una distribuzione uniforme dei valori all'interno della classe.
Errori comuni nei compiti di Statistica
- Non ordinare i dati: e l'errore piu grave, perche rende privo di senso ogni quartile.
- Confondere posizione e valore: dire che Q1 e in posizione 3,75 non significa che Q1 vale 3,75.
- Mischiare convenzioni diverse: se inizi con una formula, non cambiare metodo a meta esercizio.
- Dimenticare l'unita di misura: un quartile senza minuti, punti o altra unita e incompleto.
- Saltare l'interpretazione: all'esame spesso non basta il calcolo; serve spiegare cosa indica il risultato.
- Sbagliare la classe quartile nei dati raggruppati: va scelta usando le frequenze cumulate, non la frequenza semplice piu alta.
Checklist operativa prima di consegnare
- Ho ordinato correttamente tutti i dati?
- Ho scritto quale convenzione di calcolo sto usando?
- Ho distinto la posizione del quartile dal suo valore numerico?
- Se la posizione e decimale, ho interpolato nel modo giusto?
- Nei dati raggruppati, ho costruito o controllato le frequenze cumulate?
- Ho interpretato Q1, Q2 e Q3 con una frase coerente con il contesto?
Autoverifica veloce
1. Se n = 15, dove cade Q3 con la convenzione usata qui?
p3 = 3(15 + 1) / 4 = 12. Q3 cade quindi in corrispondenza del 12° valore ordinato.
2. Se Q1 = 18 e Q3 = 30, quanto vale l'intervallo interquartile?
IQR = Q3 - Q1 = 30 - 18 = 12.
3. Nei dati raggruppati, perche il quartile e solo una stima?
Perche il valore viene interpolato dentro una classe e non letto da osservazioni puntuali una per una.
Ripasso mirato per l'esame di Statistica
Per fissare davvero il metodo, dopo questa lettura prova a rifare da solo un esercizio con dati singoli e uno con frequenze raggruppate, scrivendo sempre il commento finale. Se stai organizzando il ripasso, puo esserti utile anche la guida esame di Statistica, da usare come orientamento pratico e non come programma ufficiale di un ateneo.
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