Oligopolio di Cournot esercizi svolti: funzioni di reazione

Se stai cercando oligopolio di Cournot esercizi svolti, il punto chiave è sempre lo stesso: partire dalla domanda inversa, scrivere il profitto di ciascuna impresa e ricavare le funzioni di reazione. Da lì si ottiene l'equilibrio di Cournot del duopolio come intersezione delle migliori risposte. In questo articolo trovi un percorso completo e operativo: formule essenziali, lettura del grafico, procedura numerata e un esempio originale svolto passo per passo con controllo finale. L'obiettivo non è ripetere la teoria in astratto, ma mostrarti come risolvere davvero un modello Cournot esercizio tipico di Microeconomia, evitando gli errori che fanno perdere punti all'esame.

Come si imposta un esercizio di Cournot

Nel duopolio di Cournot due imprese scelgono simultaneamente la quantità, non il prezzo. Ciascuna impresa considera data la quantità dell'altra e massimizza il proprio profitto. In simboli: q1 e q2 sono le quantità prodotte per mese, Q = q1 + q2 è la quantità totale, p(Q) è il prezzo di mercato in euro per unità, C1(q1) e C2(q2) sono i costi totali mensili.

Negli esercizi universitari il compito richiede quasi sempre quattro passaggi: scrivere i profitti, ricavare le migliori risposte, trovare l'intersezione delle reazioni e calcolare prezzo e profitti di equilibrio. Se i costi marginali sono costanti, l'algebra resta lineare; se i costi sono quadratici, il metodo è identico ma la funzione di reazione può cambiare forma.

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Dalla domanda inversa alle funzioni di reazione

Il punto di partenza è spesso una domanda inversa lineare: p(Q) = a - bQ, con a maggiore di 0 e b maggiore di 0. Qui a è l'intercetta della domanda, mentre b misura di quanto si riduce il prezzo quando aumenta la quantità totale Q. Poiché Q = q1 + q2, si può scrivere p = a - b(q1 + q2).

Supponi costi marginali costanti: C1(q1) = c1q1 e C2(q2) = c2q2, dove c1 e c2 sono costi in euro per unità. I profitti mensili diventano:

• π1 = [a - b(q1 + q2)]q1 - c1q1
• π2 = [a - b(q1 + q2)]q2 - c2q2

Derivando rispetto alla propria quantità ottieni le condizioni del primo ordine. Per l'impresa 1: dπ1/dq1 = a - c1 - 2bq1 - bq2 = 0. Per l'impresa 2: dπ2/dq2 = a - c2 - bq1 - 2bq2 = 0. Risolvendo rispetto alla variabile scelta dall'impresa, emergono le funzioni reazione Cournot:

• q1 = (a - c1 - bq2) / (2b)
• q2 = (a - c2 - bq1) / (2b)

Molti studenti cercano proprio questo passaggio: le reazioni sono le migliori risposte, cioè la quantità ottimale di ciascuna impresa data la quantità del rivale. In un modello Cournot esercizio ben svolto, non basta riportare la formula: bisogna anche spiegare perché è decrescente. Se l'altra impresa produce di più, il prezzo si abbassa e la quantità ottimale della singola impresa diminuisce.

C'è poi un controllo da non saltare: se la formula producesse un valore negativo, la quantità economicamente ammissibile sarebbe 0. In molti compiti l'equilibrio è interno e questo problema non si presenta, ma vale la pena verificarlo sempre.

Formula, grafico e interpretazione economica

Quando in traccia compare l'espressione equilibrio Cournot duopolio, devi pensare all'intersezione delle due migliori risposte nel piano delle quantità. Metti q1 sull'asse orizzontale e q2 su quello verticale. A quel punto conviene riscrivere almeno una reazione in forma compatibile con il grafico.

• Se q1 = (a - c1 - bq2) / (2b), allora puoi riscriverla come q2 = (a - c1) / b - 2q1.
• Se q2 = (a - c2 - bq1) / (2b), hai già q2 in funzione di q1.

La prima retta ha pendenza negativa più ripida; la seconda è anch'essa decrescente. L'intuizione economica è semplice: più alta è la produzione dell'impresa rivale, minore è la mia quantità ottima. Se invece un'impresa ha costo marginale più basso, la sua reazione si sposta verso l'esterno: a parità di output rivale, produce di più.

Questo collegamento tra formula e grafico è utile anche per controllare il risultato numerico. Se trovi un equilibrio in cui l'impresa meno efficiente produce più di quella con costo inferiore, probabilmente c'è un errore di algebra o hai invertito le reazioni.

Procedura operativa per risolvere il modello

1. Identifica le variabili. Scrivi chiaramente cosa rappresentano p, q1, q2, Q e le unità di misura usate nel tempo, per esempio euro per unità al mese.
2. Trasforma la domanda nella forma utile. Se la traccia ti dà Q in funzione di p, ricava la domanda inversa p(Q), perché il profitto si costruisce con il prezzo.
3. Scrivi i profitti. Ricavo totale meno costo totale, ricordando che il prezzo dipende dalla quantità totale Q.
4. Deriva rispetto alla quantità scelta dalla singola impresa. Per l'impresa 1 derivi rispetto a q1, trattando q2 come dato; per l'impresa 2 fai il contrario.
5. Ricava le funzioni di reazione. Isola q1 nella prima equazione e q2 nella seconda. Se serve, imponi il vincolo di non negatività.
6. Trova l'intersezione. Risolvi il sistema delle due reazioni e ottieni q1* e q2*.
7. Completa l'esercizio. Calcola Q*, p* e i profitti di equilibrio, poi fai un controllo economico finale su segni, coerenza e interpretazione.

Esempio svolto

Dati e ipotesi

Considera un duopolio in cui la domanda inversa mensile è p = 120 - q1 - q2. Il prezzo p è misurato in euro per unità; q1 e q2 sono quantità in unità al mese. I costi totali sono C1(q1) = 20q1 e C2(q2) = 30q2. Le imprese vendono un bene omogeneo, scelgono simultaneamente la quantità e ciascuna massimizza il profitto mensile prendendo come dato l'output dell'altra.

Passaggi

1. Scrivi i profitti. Per l'impresa 1: π1 = [120 - (q1 + q2)]q1 - 20q1 = (100 - q1 - q2)q1. Per l'impresa 2: π2 = [120 - (q1 + q2)]q2 - 30q2 = (90 - q1 - q2)q2.
2. Deriva rispetto alla propria quantità. dπ1/dq1 = 100 - 2q1 - q2. dπ2/dq2 = 90 - q1 - 2q2.
3. Poni uguale a zero e ricava le reazioni. Dalla prima equazione: 100 - 2q1 - q2 = 0, quindi q1 = (100 - q2) / 2. Dalla seconda: 90 - q1 - 2q2 = 0, quindi q2 = (90 - q1) / 2.
4. Trova l'intersezione delle reazioni. Riscrivi la prima come q1 = 50 - q2 / 2. Sostituiscila nella seconda: q2 = 45 - (50 - q2 / 2) / 2 = 45 - 25 + q2 / 4. Ottieni quindi 3q2 / 4 = 20, cioè q2* = 80 / 3. Sostituendo in BR1: q1* = 50 - (80 / 3) / 2 = 50 - 40 / 3 = 110 / 3.
5. Calcola quantità totale e prezzo. Q* = q1* + q2* = 110 / 3 + 80 / 3 = 190 / 3. Il prezzo di equilibrio è p* = 120 - 190 / 3 = 170 / 3.
6. Calcola i profitti. π1* = (p* - 20)q1* = (170 / 3 - 20)(110 / 3) = 12100 / 9. π2* = (p* - 30)q2* = (170 / 3 - 30)(80 / 3) = 6400 / 9.

In forma decimale: q1* = 36,67 unità al mese, q2* = 26,67, Q* = 63,33, p* = 56,67 euro per unità, π1* = 1344,44 euro al mese e π2* = 711,11 euro al mese.

Se vuoi collegare i numeri al grafico, con q1 sull'asse orizzontale e q2 su quello verticale ottieni BR1: q2 = 100 - 2q1 e BR2: q2 = 45 - q1 / 2. Le due rette si intersecano proprio nel punto (110 / 3, 80 / 3). La reazione dell'impresa 1 è più esterna perché il suo costo marginale è più basso: a parità di output rivale, le conviene produrre di più.

Controllo finale

Il risultato è coerente sia matematicamente sia economicamente. Le seconde derivate rispetto alla propria quantità sono negative: d²π1/dq1² = -2 e d²π2/dq2² = -2, quindi i punti trovati soddisfano la condizione di massimo locale. Inoltre q1* e q2* sono positivi, quindi l'equilibrio è interno. Infine il prezzo di equilibrio, 56,67, è superiore sia a 20 sia a 30: entrambe le imprese coprono il costo marginale, ma l'impresa 1, più efficiente, ottiene quantità e profitto più elevati. Questo è il controllo finale che dà senso economico ai conti.

Checklist operativa prima di consegnare

• Hai scritto la domanda inversa e non la domanda diretta?
• Hai definito correttamente Q = q1 + q2?
• Hai sottratto il costo totale al ricavo totale per ogni impresa?
• Hai derivato rispetto alla quantità giusta, trattando quella rivale come data?
• Hai trovato q1* e q2* risolvendo il sistema delle reazioni, non imponendo uguaglianze arbitrarie?
• Hai calcolato anche p* e i profitti, senza fermarti alle quantità?
• Hai controllato segni, unità di misura e interpretazione economica del risultato?

Errori comuni negli esercizi di Cournot

• Usare la domanda sbagliata. Se la traccia fornisce Q = 120 - p e tu la inserisci direttamente nel profitto senza ricavare p, i conti diventano incoerenti.
• Dimenticare la quantità del rivale nel prezzo. In Cournot il prezzo dipende da Q totale, quindi q1 e q2 compaiono entrambe nella domanda inversa.
• Confondere reazione ed equilibrio. La funzione di reazione è una regola condizionata; l'equilibrio è il punto in cui le due regole si incontrano.
• Saltare il controllo di non negatività. Una quantità negativa non ha senso economico; se compare, va corretta considerando il vincolo q uguale o maggiore di 0.
• Disegnare il grafico nel piano sbagliato. Le reazioni si leggono nel piano q1-q2, non nel classico piano prezzo-quantità.
• Non interpretare i numeri. Trovare q1* maggiore di q2* deve essere spiegato: nel nostro esempio dipende dal costo marginale più basso dell'impresa 1.
• Mescolare le unità temporali. Se i costi sono mensili, anche quantità, ricavi e profitti devono essere letti su base mensile.

Autoverifica rapida

• Se aumenta c2, cosa succede? La reazione dell'impresa 2 si sposta verso l'interno: q2* tende a scendere, mentre q1* tende a salire.
• Se aumenta a, cioè il mercato diventa più grande? Entrambe le reazioni si spostano verso l'esterno e l'equilibrio mostra quantità maggiori.
• Se c1 = c2, le quantità di equilibrio coincidono? Sì, con domanda lineare e costi marginali uguali l'equilibrio interno è simmetrico.
• Se il rivale produce 0, quanto produce l'impresa 1? Produce la sua migliore risposta a q2 = 0, cioè q1 = (a - c1) / (2b).

Come continuare lo studio in modo mirato

Per padroneggiare davvero questo argomento, il passaggio decisivo è rifare lo stesso schema cambiando i parametri della domanda e dei costi: così capisci come si spostano le funzioni di reazione e come cambia l'equilibrio. Se stai preparando l'esame di Microeconomia, può esserti utile consultare anche la guida a Microeconomia per orientarti nello studio.

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