Capire la duration è fondamentale in matematica finanziaria perché collega due aspetti che negli esercizi d’esame compaiono spesso insieme: il valore di un titolo obbligazionario e il suo rischio di tasso. In questa guida su duration obbligazioni esercizi svolti vediamo come calcolare la duration di Macaulay, come passare alla duration modificata e come interpretare la sensibilità prezzo tassi con un esempio originale e numerico.
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Che cos’è la duration e perché conta nelle obbligazioni
Quando i tassi di mercato cambiano, il prezzo di un’obbligazione si muove in direzione opposta: se i tassi salgono, il prezzo tende a scendere; se i tassi scendono, il prezzo tende a salire. La duration serve proprio a misurare quanto il prezzo è esposto a questa variazione.
Molti studenti confondono la duration con la scadenza del titolo. In realtà la scadenza indica solo quando arriva l’ultimo flusso, mentre la duration è un tempo medio finanziario ponderato dei flussi incassati. Per questo motivo una obbligazione con cedole ha spesso una duration inferiore alla sua scadenza: una parte del valore viene incassata prima, attraverso le cedole.
Negli esercizi universitari questo concetto è importante perché consente di passare da un semplice calcolo di prezzo a una lettura più economica del titolo: un’obbligazione con duration più alta è, in generale, più sensibile alle variazioni dei tassi.
Duration di Macaulay: definizione, formula e significato
La duration di Macaulay si calcola come media ponderata delle scadenze dei flussi, dove i pesi sono dati dai valori attuali dei flussi stessi.
Duration di Macaulay = somma di t × valore attuale del flusso al tempo t / prezzo del titolo
In pratica devi seguire tre idee:
- attualizzare ogni flusso futuro;
- moltiplicare ogni valore attuale per il tempo a cui il flusso si verifica;
- dividere la somma ottenuta per il prezzo dell’obbligazione.
Se il rendimento è espresso su base annua e i flussi sono annuali, il calcolo è diretto. Se invece hai cedole semestrali, trimestrali o altra periodicità, devi usare il tasso per periodo e i tempi coerenti con quella frequenza. Questo è uno degli aspetti che fa sbagliare più spesso negli esercizi.
Il significato economico è chiaro: la duration di Macaulay dice in quanto tempo medio, finanziariamente parlando, recuperi il valore investito. Non è quindi solo una formula da applicare, ma una misura che sintetizza struttura dei flussi, rendimento e tempo.
Esercizio svolto 1: calcolo della duration di Macaulay
Consideriamo un’obbligazione con caratteristiche semplici ma molto utili per capire il procedimento.
- Valore nominale: 100
- Cedola annua: 4%
- Scadenza: 3 anni
- Rendimento effettivo annuo di mercato: 5%
I flussi sono quindi:
- anno 1: 4
- anno 2: 4
- anno 3: 104
Passo 1: calcolare il prezzo del titolo
Attualizziamo i tre flussi al 5%:
- VA del flusso al primo anno = 4 / 1,05 = 3,8095
- VA del flusso al secondo anno = 4 / 1,05^2 = 3,6281
- VA del flusso al terzo anno = 104 / 1,05^3 = 89,8391
Il prezzo del titolo è la somma dei valori attuali:
Prezzo = 3,8095 + 3,6281 + 89,8391 = 97,2767
Passo 2: ponderare ogni flusso per il tempo
- 1 × 3,8095 = 3,8095
- 2 × 3,6281 = 7,2562
- 3 × 89,8391 = 269,5173
Sommiamo:
3,8095 + 7,2562 + 269,5173 = 280,5830
Passo 3: dividere per il prezzo
La duration di Macaulay è:
280,5830 / 97,2767 = 2,884 anni circa
Questo risultato va letto così: anche se il titolo scade tra 3 anni, il tempo medio finanziario di incasso dei flussi è circa 2,88 anni, quindi inferiore alla scadenza grazie alla presenza delle cedole ai primi due anni.
Questo esempio è utile anche per un confronto immediato: se al posto del titolo con cedola avessimo uno zero coupon con scadenza a 3 anni, la duration di Macaulay sarebbe esattamente 3 anni, perché tutto il valore arriverebbe solo alla fine.
Dalla duration di Macaulay alla duration modificata
La duration di Macaulay misura un tempo medio. Per stimare invece l’effetto dei tassi sul prezzo si usa la duration modificata.
Duration modificata = Duration di Macaulay / (1 + i)
dove i è il rendimento per periodo. Nel nostro esempio, dato che i flussi sono annuali, usiamo il 5% annuo:
Duration modificata = 2,884 / 1,05 = 2,747 circa
Questa misura ha una lettura pratica molto importante: approssima la variazione percentuale del prezzo al variare del tasso di interesse.
La regola operativa è:
variazione percentuale del prezzo ≈ - duration modificata × variazione del tasso
Il segno meno ricorda la relazione inversa tra prezzo e tassi. Se i tassi salgono, il prezzo scende; se i tassi scendono, il prezzo sale.
Ecco quindi la differenza essenziale tra le due misure:
- la duration di Macaulay è un tempo medio ponderato dei flussi;
- la duration modificata è una misura di sensibilità del prezzo ai tassi.
All’esame questa distinzione va esplicitata con chiarezza: non sono sinonimi e non vanno scambiate.
Esercizio svolto 2: sensibilità prezzo tassi con la duration modificata
Riprendiamo lo stesso titolo dell’esercizio precedente. Sappiamo che:
- prezzo iniziale = 97,2767
- duration modificata = 2,747
Supponiamo ora che il rendimento di mercato salga dal 5% al 6%. La variazione del tasso è quindi pari a +0,01.
Applicando la formula di approssimazione otteniamo:
variazione percentuale del prezzo ≈ -2,747 × 0,01 = -0,02747
Quindi il prezzo dovrebbe scendere di circa il 2,747%.
Il nuovo prezzo approssimato è:
97,2767 × (1 - 0,02747) = 94,60 circa
Verifica con il ricalcolo esatto del prezzo
Ricalcoliamo il prezzo usando direttamente il nuovo rendimento del 6%:
- 4 / 1,06 = 3,7736
- 4 / 1,06^2 = 3,5600
- 104 / 1,06^3 = 87,3207
Somma:
Prezzo esatto nuovo = 3,7736 + 3,5600 + 87,3207 = 94,6543 circa
L’approssimazione tramite duration modificata ci dava 94,60: è molto vicina al valore esatto. Questo mostra bene l’utilità della duration come misura rapida di sensibilità prezzo tassi.
Attenzione però: si tratta di una approssimazione lineare. Per piccole variazioni dei tassi funziona bene; per variazioni più ampie cresce l’errore, perché la relazione prezzo-rendimento non è una retta perfetta.
Come interpretare i risultati: confronti che aiutano davvero
Dopo il calcolo viene la parte che distingue uno svolgimento corretto da uno davvero completo: l’interpretazione.
- Più lunga è la duration, maggiore è il rischio di tasso. Un titolo con duration 6 reagisce più di uno con duration 2 a parità di variazione dei tassi.
- A parità di scadenza, una cedola più alta tende a ridurre la duration, perché una quota maggiore del valore viene incassata prima.
- Uno zero coupon ha duration uguale alla scadenza, perché esiste un solo flusso finale.
- A parità di struttura dei flussi, un rendimento più alto tende a ridurre la duration, perché i flussi lontani pesano meno in valore attuale.
Nel nostro esempio il titolo scade tra 3 anni ma ha duration di Macaulay pari a 2,884 anni. Questo ti dice che i flussi intermedi contano davvero e accorciano il tempo medio finanziario. È una conclusione tipica da inserire negli esercizi di matematica finanziaria, soprattutto quando ti chiedono non solo il calcolo ma anche un commento economico.
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Errori frequenti negli esercizi sulla duration
Molti errori non dipendono dalla difficoltà della formula, ma da passaggi preliminari trascurati. Ecco quelli più comuni:
- confondere scadenza e duration;
- dimenticare di calcolare prima il prezzo del titolo come somma dei valori attuali;
- usare il valore nominale al posto del prezzo nel denominatore della formula;
- non includere il rimborso finale nel flusso dell’ultimo periodo;
- mischiare periodicità diverse, per esempio cedole semestrali con tasso annuo non convertito;
- scrivere la duration modificata senza dividere per 1 + i;
- dimenticare il segno negativo nell’approssimazione della variazione di prezzo.
Una buona abitudine è controllare se il risultato è plausibile: per un titolo con cedole la duration deve di solito essere inferiore alla scadenza; per uno zero coupon coincide con essa.
Checklist operativa per risolvere l’esercizio all’esame
- Leggi bene i dati: valore nominale, cedola, scadenza, rendimento, periodicità.
- Scrivi tutti i flussi di cassa periodo per periodo.
- Attualizza ogni flusso con il tasso coerente con la periodicità.
- Somma i valori attuali per trovare il prezzo.
- Moltiplica ogni valore attuale per il tempo relativo.
- Somma i prodotti e dividi per il prezzo: ottieni la duration di Macaulay.
- Se richiesto, calcola la duration modificata dividendo per 1 + i.
- Interpreta il risultato: più alta duration, più alta sensibilità ai tassi.
- Se c’è una variazione dei tassi, usa la formula approssimata per stimare la variazione percentuale del prezzo.
- Chiudi con un controllo di coerenza economica del risultato.
Conclusione utile: dalla formula alla comprensione del rischio
La duration non serve solo a riempire righe di calcolo. Serve a capire come il tempo dei flussi influenza il rischio di tasso. La duration di Macaulay ti dice quando, in media finanziaria, recuperi il valore del titolo. La duration modificata trasforma questa informazione in una stima pratica della reazione del prezzo ai tassi.
Se impari a distinguere bene queste due misure e ad accompagnare i conti con un commento corretto, gli esercizi sulle obbligazioni diventano molto più ordinati. Per allenarti con un percorso strutturato, puoi approfondire nel corso Matematica finanziaria facile, pensato come supporto on-demand con videolezioni registrate, esercizi e appelli da seguire online tramite l’app desktop Weduup.