È sera, hai davanti uno schema di prestito obbligazionario con tre simboli: N, E, R. Il dubbio nasce quando leggi due voci simili: scarto di emissione e aggio di rimborso. La differenza è questa: lo scarto di emissione riguarda l’inizio dell’operazione ed è la differenza tra valore nominale N e prezzo di emissione E quando il titolo viene collocato sotto la pari; l’aggio di rimborso riguarda la fine ed è la differenza tra prezzo di rimborso R e valore nominale N quando il rimborso avviene sopra la pari. In breve, uno si vede al tempo 0, l’altro alla scadenza. Capirlo bene evita errori nei flussi, nel prezzo di emissione e rimborso e nel prestiti obbligazionari calcolo.
La differenza in una frase
Scarto di emissione e aggio di rimborso non sono sinonimi: il primo misura quanto il titolo viene emesso sotto il valore nominale, il secondo misura quanto viene rimborsato sopra il valore nominale.
Se vuoi una formula-memoria immediata, pensa al valore nominale come a un perno centrale:
- scarto di emissione = N - E, con N valore nominale ed E prezzo di emissione;
- aggio di rimborso = R - N, con R prezzo di rimborso.
La confusione nasce perché entrambe le grandezze incidono sul rendimento del titolo, ma lo fanno in momenti diversi del flusso finanziario.
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Definizioni pulite: cosa significano davvero
Conviene fissare subito i simboli, perché molti errori nascono da una notazione letta in fretta:
- N = valore nominale del titolo;
- E = prezzo di emissione, cioè quanto l’investitore paga all’inizio;
- R = prezzo di rimborso, cioè quanto l’investitore riceve alla scadenza per il capitale;
- C = cedola per periodo, se prevista;
- n = numero di periodi.
Da qui:
- Scarto di emissione obbligazioni: differenza positiva tra valore nominale e prezzo di emissione quando il titolo è emesso sotto la pari. Formula tipica: N - E.
- Aggio di rimborso significato: differenza positiva tra prezzo di rimborso e valore nominale quando il rimborso avviene sopra la pari. Formula tipica: R - N.
Quando E = N, l’emissione è alla pari e lo scarto è nullo. Quando R = N, il rimborso è alla pari e l’aggio è nullo. Se un titolo fosse emesso sopra la pari, non parleresti normalmente di scarto di emissione positivo, ma di un’impostazione diversa del prezzo rispetto al nominale.
Questa distinzione è importante anche perché la cedola, nella maggior parte degli esercizi standard universitari, viene calcolata sul valore nominale e non sul prezzo pagato dall’investitore.
Schema dei flussi: dove compaiono nel tempo
Per non perdere il filo, scegli una prospettiva e mantienila fino alla fine. Qui usiamo la prospettiva dell’investitore. Quindi:
| Momento | Voce | Flusso investitore | Osservazione |
|---|---|---|---|
| t0 | Prezzo di emissione | -E | Esborso iniziale |
| t1, t2, ... | Cedole | +C | Se il titolo le prevede |
| tn | Rimborso capitale | +R | Incasso finale del capitale |
In questo schema:
- lo scarto di emissione è visibile perché l’investitore paga E, che è inferiore a N;
- l’aggio di rimborso è visibile perché alla scadenza riceve R, che è superiore a N.
Un’identità utile da ricordare è:
R - E = (R - N) + (N - E)
Tradotta: la differenza tra rimborso e prezzo di acquisto si può scomporre in aggio di rimborso più scarto di emissione. Questa formula è preziosa nei controlli finali degli esercizi.
Prezzo di emissione e rimborso: perché si confondono così spesso
Le due voci sembrano quasi speculari, ma non coincidono per tre motivi.
1. Hanno punti di riferimento diversi nel tempo
Lo scarto di emissione guarda all’inizio del contratto, l’aggio di rimborso guarda alla fine. Se confondi il tempo del flusso, scrivi formule corrette in sé ma applicate al posto sbagliato.
2. Hanno lo stesso perno ma non la stessa direzione
Entrambi si misurano rispetto al valore nominale N, però uno parte da E e l’altro da R. Per questo la mappa mentale più semplice è:
- E sotto N → possibile scarto di emissione;
- R sopra N → possibile aggio di rimborso.
3. Agiscono insieme sul rendimento effettivo
Quando fai prestiti obbligazionari calcolo, entrambe le voci possono aumentare la convenienza del titolo per l’investitore e il costo per l’emittente, insieme alle cedole. Per questo, in fase di studio, è facile fonderle in un’unica idea di “guadagno extra”. Ma all’esame vanno separate con precisione.
Procedura rapida per riconoscerli in esercizio
Quando trovi un testo con obbligazioni, usa questa procedura numerata prima di fare qualsiasi conto.
- Fissa la prospettiva: investitore o emittente. Se non lo fai, i segni dei flussi diventano incoerenti.
- Annota i dati base: valore nominale N, prezzo di emissione E, prezzo di rimborso R, tasso cedolare, durata n, frequenza delle cedole.
- Controlla la parità: se E < N, c’è scarto di emissione pari a N - E; se E = N, è zero.
- Controlla il rimborso: se R > N, c’è aggio di rimborso pari a R - N; se R = N, è zero.
- Scrivi i flussi completi: per l’investitore hai -E al tempo 0, poi le cedole, poi +R all’ultimo periodo.
- Rendi coerenti le unità temporali: se le cedole sono semestrali, il tasso va espresso per semestre e n va contato in semestri.
- Fai un controllo finale: verifica se vale R - E = aggio + scarto quando entrambe le grandezze sono presenti.
Questa sequenza sembra elementare, ma è proprio ciò che evita gli errori più comuni nelle domande su prezzo di emissione e rimborso.
Esempio svolto
Vediamo un caso semplice ma realistico, costruito per isolare bene le due grandezze.
Dati
- Valore nominale del titolo: N = 1.000
- Prezzo di emissione: E = 970
- Prezzo di rimborso alla scadenza: R = 1.020
- Tasso cedolare annuo: 4%
- Durata: 3 anni
- Cedole annuali
Ipotesi
Assumiamo un’unica obbligazione e lavoriamo dalla prospettiva dell’investitore. La cedola annua è calcolata sul valore nominale, quindi:
C = 0,04 × 1.000 = 40
Passaggio 1: calcolo dello scarto di emissione
Poiché il titolo è emesso sotto la pari, lo scarto di emissione è:
N - E = 1.000 - 970 = 30
Significa che l’investitore entra pagando 30 in meno rispetto al nominale.
Passaggio 2: calcolo dell’aggio di rimborso
Poiché il titolo è rimborsato sopra la pari, l’aggio di rimborso è:
R - N = 1.020 - 1.000 = 20
Significa che alla scadenza l’investitore riceve 20 in più rispetto al nominale.
Passaggio 3: schema dei flussi
- t0: -970
- t1: +40
- t2: +40
- t3: +40 + 1.020 = +1.060
Questo è il punto in cui la differenza tra le due nozioni diventa visibile senza ambiguità: lo scarto incide sul flusso iniziale, l’aggio sul flusso finale.
Passaggio 4: controllo del vantaggio complessivo sui prezzi
La differenza tra prezzo finale di rimborso e prezzo iniziale di emissione è:
R - E = 1.020 - 970 = 50
Ora controlliamo con la scomposizione:
aggio + scarto = 20 + 30 = 50
Il controllo torna. Questo conferma che le due voci sono distinte ma sommandosi spiegano la differenza tra rimborso e prezzo di acquisto.
Passaggio 5: lettura economica dell’esercizio
Le cedole totali incassate in tre anni sono:
3 × 40 = 120
Il beneficio legato solo ai prezzi di acquisto e rimborso è invece:
30 + 20 = 50
Quindi gli incassi complessivi sono:
40 + 40 + 1.060 = 1.140
Il saldo monetario complessivo rispetto all’esborso iniziale è:
1.140 - 970 = 170
Non tutto questo saldo dipende da aggio e scarto: una parte viene dalle cedole. Ma proprio per questo, in sede di esame, separare le fonti del rendimento è essenziale.
Controllo finale
Se in un esercizio ti chiedono solo la differenza tra aggio di rimborso e scarto di emissione, qui la risposta è immediata:
- lo scarto di emissione vale 30 e nasce al tempo 0;
- l’aggio di rimborso vale 20 e nasce alla scadenza.
Errori comuni da evitare
- Usare R - E come aggio di rimborso. No: R - E è una differenza tra prezzo finale e iniziale, non l’aggio. L’aggio si calcola rispetto a N.
- Dimenticare il valore nominale come riferimento. Sia scarto sia aggio si leggono bene solo mantenendo N al centro della struttura.
- Calcolare la cedola sul prezzo di emissione. Negli esercizi standard, la cedola è di norma una percentuale del valore nominale.
- Mescolare anni e semestri. Se il tasso è annuo ma le cedole sono semestrali, serve la conversione coerente per periodo.
- Confondere segni e prospettive. Per l’investitore il prezzo di emissione è un’uscita; per l’emittente è un’entrata.
- Chiamare scarto qualsiasi differenza di prezzo. Lo scarto di emissione non è ogni scostamento possibile, ma la differenza tra nominale ed emissione nel collocamento sotto la pari.
Checklist operativa prima di consegnare
- Hai scritto chiaramente N, E e R?
- Hai indicato da quale prospettiva stai ragionando?
- Hai verificato se l’emissione è sotto, alla o sopra la pari?
- Hai verificato se il rimborso è sotto, alla o sopra la pari?
- Hai calcolato la cedola sul nominale e non sul prezzo di emissione?
- Hai controllato la coerenza temporale di tassi e periodi?
- Hai fatto il test rapido R - E = aggio + scarto, quando applicabile?
Autoverifica veloce
Prova a rispondere senza guardare sopra.
- Se N = 100, E = 100 e R = 105, cosa vale? Scarto di emissione zero; aggio di rimborso 5.
- Se N = 100, E = 97 e R = 100, cosa vale? Scarto di emissione 3; aggio di rimborso zero.
- Se E è inferiore a N, in quale punto del flusso compare la differenza? Al tempo 0, nel prezzo di emissione.
- Qual è il riferimento comune delle due definizioni? Il valore nominale N.
Se queste risposte ti sono venute naturali, la distinzione è già più stabile. Se invece inciampi ancora nei passaggi, può aiutarti ripetere gli esercizi sempre dallo schema dei flussi. Per allenarti in modo ordinato, puoi partire anche dalla guida a Matematica Finanziaria e, se vuoi un supporto strutturato per il singolo esame, dal percorso Weduup con lezioni registrate e on-demand fruibili tramite app desktop per Windows e macOS: vedi il corso di Matematica Finanziaria II e III parte con appelli.